Exercice 27, § 9

On dit qu’un anneau A est absolument plat, ou régulier au sens de von Neumann, si pour tout élément $a$ de A, il existe $x\in A$ tel que $axa=a$.

a) Pour que A soit absolument plat, il faut et il suffit que tout idéal à gauche (resp. à droite) monogène de A admette un supplémentaire dans $A_s$ (c’est-à-dire soit engendré par un idempotent).

b) Montrer que tout idéal de type fini d’un anneau absolument plat est engendré par un idempotent (se ramener au cas d’un idéal $Ae+ Af$, où $e$ et $f$ sont des idempotents, puis, en remplaçant $Ae$ par $Ae(1-f)$, au cas où $ef= 0$, et considérer l’élément $e+f-f e$). Un anneau absolument plat noethérien (à gauche ou à droite) est semi-simple.

c) Déduire de b) que l’intersection de deux idéaux à gauche (resp. à droite) monogènes d’un anneau absolument plat est monogène (considérer les annulateurs à droite).

d) Tout anneau quotient d’un anneau absolument plat est absolument plat, ainsi que tout produit d’anneaux absolument plats.

e) Démontrer que le radical d’un anneau absolument plat est réduit à 0 ; en déduire que tout idéal bilatère de A est intersection des idéaux à gauche maximaux qui le contiennent.

f ) Le centre d’un anneau absolument plat est absolument plat (si $a\in Z,x\in A$ satisfont à $a^2x=a$, prouver qu’on a $a^2x^n\in Z$ pour tout $n\geqslant 0$ et $a(a^2x^3)a=a$).

g) Démontrer que l’anneau des endomorphismes d’un espace vectoriel est un anneau absolument plat.