Bài tập 30, § 9

a) Cho A là một vành không chứa phần tử lũy linh nào khác 0. Chứng minh rằng mọi phần tử lũy đẳng $e$ trong A đều thuộc tâm của A (xét các phần tử $(1-e)xe$ và $ex(1-e)$).

b) Cho A là một vành phẳng tuyệt đối không chứa phần tử lũy linh nào khác 0, và cho $a$ là một phần tử khác không của A. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x$ của A sao cho $e=ax=xa$ là lũy đẳng và $ea=ae=a$. Suy ra rằng với mọi $y\in A$, tồn tại một $z\in A$ sao cho $ya=az$ và, do đó, mọi iđêan trái hoặc phải của A đều là hai phía.

c) Chứng minh rằng không có vành thương nào của A chứa một phần tử lũy linh khác không (dùng b)). Suy ra rằng A đẳng cấu với một vành con C của một tích $\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$ của các trường sao cho pr$_{\iota}(C) = D_{\iota}$ với mọi $\iota \in I$ (suy ra từ b) và Bài tập 4 của VIII, p. 129 rằng một vành nguyên thủy phẳng tuyệt đối không có các phần tử lũy linh là một trường, và dùng Bài tập 12 ở trên).

d) Cho $(D_{\iota})_{\iota\in I}$ là một họ vô hạn các trường và B là vành $\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$. Với mọi tập con H của I, ký hiệu $B_H$ là iđêan hai phía của B gồm các họ $(b_{\iota})_{\iota\in I}$ sao cho $b_{\iota}= 0$ với $\iota \notin H$. Cho $\mathfrak{F}$ là một tập có hướng tăng gồm các tập con của I tạo thành một phủ của I, và cho A là vành con của B sinh bởi 1 và các $B_H$ với $H\in \mathfrak{F}$. Chứng minh rằng A là phẳng tuyệt đối và không chứa các phần tử lũy linh khác không.