Exercice 30, § 9

a) Soit A un anneau ne contenant aucun élément nilpotent autre que 0. Prouver que tout élément idempotent $e$ de A appartient au centre de A (considérer les éléments $(1-e)xe$ et $ex(1-e)$).

b) Soit A un anneau absolument plat ne contenant aucun élément nilpotent autre que 0 et soit $a$ un élément non nul de A. Démontrer qu’il existe un élément $x$ de A tel que $e=ax=xa$ soit idempotent et que $ea=ae=a$; en déduire que pour tout $y\in A$, il existe $z\in A$ tel que $ya=az$, et par suite que tout idéal à gauche ou à droite de A est bilatère.

c) Démontrer que tout anneau quotient de A ne contient pas d’élément nilpotent non nul (utiliser b)). En déduire que A est isomorphe à un sous-anneau C d’un produit $\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$ de corps, tel que pr$_{\iota}(C) = D_{\iota}$ pour tout $\iota \in I$ (déduire de b) et de l’exerc. 4 de VIII, p. 125 qu’un anneau primitif absolument plat sans élément nilpotent est un corps, et utiliser l’exerc. 12 ci-dessus).

d) Soient $(D_{\iota})_{\iota\in I}$ une famille infinie de corps, B l’anneau $\prod_{\iota\in I}D_{\iota}$. Pour toute partie H de I, on désigne par $B_H$ l’idéal bilatère de B formé des familles $(b_{\iota})_{\iota\in I}$ telles que $b_{\iota}= 0$ pour $\iota \notin H$. Soit $\mathfrak{F}$ un ensemble filtrant croissant de parties de I formant un recouvrement de I et soit A le sous-anneau de B engendré par 1 et par les $B_H$ pour $H\in \mathfrak{F}$; démontrer que A est absolument plat et ne contient pas d’élément nilpotent non nul.