Bài tập 7, § 9

Cho A là một vành, và gọi I là tập hợp các số thứ tự $\alpha$ sao cho Card($\alpha$ )$\leqslant$ Card(A) (Lý thuyết tập hợp, III, §6, p. 241, Bài tập 10). Định nghĩa các iđêan hai phía $\mathfrak{N}_{\alpha}$ với mọi $\alpha \in I$ như sau bằng quy nạp siêu hạn. Lấy $\mathfrak{N}_0=\mathfrak{N}$ (Bài tập 6, b)). Nếu $\alpha$ có số kế tiếp $\alpha + 1$, thì $\mathfrak{N}_{\alpha+1}$ là iđêan hai phía sao cho $\mathfrak{N}_{\alpha+1}/\mathfrak{N}_{\alpha}$ là tổng của các iđêan hai phía lũy linh của $A/\mathfrak{N}_{\alpha}$. Nếu $\alpha$ là một số thứ tự giới hạn, lấy $\mathfrak{N}_{\alpha}$ là hợp của các $\mathfrak{N}_{\beta}$ với $\beta < \alpha$. Gọi $\tau$ là số thứ tự nhỏ nhất sao cho $\mathfrak{N}_{\tau+1}=\mathfrak{N}_{\tau}$; iđêan $\mathfrak{P}=\mathfrak{N}_{\tau}$ được gọi là căn nguyên tố của A.

a) Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{N}\subset \mathfrak{P}\subset \mathfrak{G}$ và rằng $\mathfrak{P}$ là iđêan nil nửa nguyên tố nhỏ nhất của A.[^1]

b) Chứng minh rằng $\mathfrak{P}$ là giao của các iđêan hai phía nửa nguyên tố của A (cf. VIII, p. 149, Bài tập 3).

c) Chứng minh rằng $\mathfrak{P}$ là giao của các iđêan hai phía nguyên tố của A (loc. cit., c)). d) Chứng minh rằng $\mathfrak{P}$ là tập hợp các phần tử $a$ của A có tính chất sau: mọi dãy $(a_n)_{n\geqslant 0}$ các phần tử của A sao cho $a_0=a$ và $a_{n+1}\in a_nAa_n$ với mọi $n$ đều có giá hữu hạn (cùng phương pháp như trong loc. cit.).

[^1]: Để có một ví dụ về một vành sao cho $\mathfrak{P}\not=\mathfrak{G}$, xem R. Baer, Các iđêan căn, Amer. J. of Math. 65 (1943), p. 540.