Exercice 7, § 9

Soit A un anneau, et soit I l’ensemble des ordinaux $\alpha$ tels que Card($\alpha$ )$\leqslant$ Card(A) (E, III, p. 87, exerc. 10). Pour tout $\alpha \in I$, on définit par récurrence transfinie dans I l’idéal bilatère $\mathfrak{N}_{\alpha}$ de la façon suivante. On prend $\mathfrak{N}_0=\mathfrak{N}$ (exerc. 6 b)) ; si $\alpha$ admet un prédécesseur $\alpha -1,\mathfrak{N}_{\alpha}$ est l’idéal bilatère tel que $\mathfrak{N}_{\alpha}/\mathfrak{N}_{\alpha-1}$ soit la somme des idéaux bilatères nilpotents de $A/\mathfrak{N}_{\alpha-1}$; dans le cas contraire, $\mathfrak{N}_{\alpha}$ est la réunion des $\mathfrak{N}_{\beta}$ pour $\beta < \alpha$. Soit $\tau$ le plus petit ordinal tel que $\mathfrak{N}_{\tau+1}=\mathfrak{N}_{\tau}$; l’idéal $\mathfrak{P}=\mathfrak{N}_{\tau}$ est appelé le radical premier de A.

a) Démontrer qu’on a $\mathfrak{N}\subset \mathfrak{P}\subset \mathfrak{G}$, et que $\mathfrak{P}$ est le plus petit nilidéal semi-premier de A.[^1]

b) Démontrer que $\mathfrak{P}$ est l’intersection des idéaux bilatères semi-premiers de A (cf. VIII, p. 144, exerc. 3).

c) Démontrer que $\mathfrak{P}$ est l’intersection des idéaux bilatères premiers de A (loc. cit., c)).

d) Prouver que $\mathfrak{P}$ est l’ensemble des éléments $a$ de A possédant la propriété suivante : toute suite $(a_n)_{n\geqslant 0}$ d’éléments de A telle que $a_0=a$ et $a_{n+1}\in a_nAa_n$ pour tout $n$ est à support fini (même méthode que dans loc. cit.).

[^1]: Pour un exemple d’anneau tel que $\mathfrak{P}\not=\mathfrak{G}$, voir R. Baer, Radical ideals, Amer. J. of Math. 65 (1943), p. 540.