Bài tập 14, § 1

a) Cho $0 \to R \to L \to E \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun, trong đó L là một A-môđun tự do; cho $(e_a)$ là một cơ sở của L. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) E là phẳng. β) Với mọi $x \in R$, nếu $a_x$ là iđêan phải sinh bởi các thành phần của x trên cơ sở $(e_a)$, ta có $x \in a_x R$. γ) Với mọi $x \in R$, tồn tại một đồng cấu $u_x : L \to R$ sao cho $u_x(x) = x$. δ) Với mọi dãy hữu hạn $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ các phần tử của R, tồn tại một đồng cấu $u : L \to R$ sao cho $u(x_i) = x_i$ với $1 \leq i \leq n$. (Dùng th. 1, p. 14.) b) Cho r là căn của A, và cho $0 \to R \to L \to E \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun, sao cho L là tự do. Giả sử rằng E là phẳng và R được chứa trong rL. Bây giờ chứng minh rằng $R = 0$ (với các ký hiệu của a), nhận xét rằng $a_x$ là một iđêan kiểu hữu hạn và rằng ta có $a_x = a_x r$. c) Cho E là một A-môđun phẳng kiểu hữu hạn; giả sử rằng tồn tại một iđêan hai phía b của A được chứa trong căn của A, sao cho $E/bE$ là một $(A/b)$-môđun tự do. Bây giờ chứng minh rằng khi đó E là một A-môđun tự do (nhận xét rằng tồn tại một A-môđun tự do kiểu hữu hạn L sao cho $L/bL$ là đẳng cấu với $E/bE$ và áp dụng b)). Đặc biệt, mọi môđun phẳng kiểu hữu hạn trên một vành địa phương đều là tự do.