Exercice 14, § 1

a) Soit $0 \to R \to L \to E \to 0$ une suite exacte de A-modules, où L est un A-module libre ; soit $(e_a)$ une base de L. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) E est plat. β) Pour tout $x \in R$, si $a_x$ est l'idéal à droite engendré par les composantes de x sur la base $(e_a)$, on a $x \in a_x R$. γ) Pour tout $x \in R$, il existe un homomorphisme $u_x : L \to R$ tel que $u_x(x) = x$. δ) Pour toute suite finie $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ d'éléments de R, il existe un homomorphisme $u : L \to R$ tel que $u(x_i) = x_i$ pour $1 \leq i \leq n$. (Utiliser le th. 1, p. 14.) b) Soit r le radical de A, et soit $0 \to R \to L \to E \to 0$ une suite exacte de A-modules, telle que L soit libre. On suppose que E est plat et que R est contenu dans rL. Montrer que l'on a alors $R = 0$ (avec les notations de a), observer que $a_x$ est un idéal de type fini et que l'on a $a_x = a_x r$. c) Soit E un A-module plat de type fini ; supposons qu'il existe un idéal bilatère b de A contenu dans le radical de A, tel que $E/bE$ soit un $(A/b)$-module libre. Montrer que E est alors un A-module libre (observer qu'il existe un A-module libre de type fini L tel que $L/bL$ soit isomorphe à $E/bE$ et appliquer b)). En particulier, tout module plat de type fini sur un anneau local est libre.