Bài tập 17, § 1

Cho A là một vành phẳng tuyệt đối (Bài tập 16).

a) Cho P là một A-môđun xạ ảnh. Bây giờ chứng minh rằng mọi môđun con sinh hữu hạn của P là một nhân tử trực tiếp của P (rút gọn về trường hợp P là tự do kiểu hữu hạn). b) Bây giờ chứng minh rằng mọi A-môđun xạ ảnh là một tổng trực tiếp của các môđun con đơn sinh, đẳng cấu với các iđêan đơn sinh của A. (Dùng định lý Kaplansky (II, p. 183, bài tập 2) để rút gọn về trường hợp P có một họ đếm được các phần tử sinh, rồi dùng a).) c) Bây giờ chứng minh rằng mọi iđêan của A được sinh bởi một họ đếm được các phần tử sinh là xạ ảnh. d) Hãy cho một ví dụ về một vành phẳng tuyệt đối A và một A-môđun sinh hữu hạn không xạ ảnh. †18) Cho M là một A-môđun. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) M là kiểu hữu hạn (tương ứng. trình bày hữu hạn). β) Với mọi hệ quy nạp $(N_i, u_{ij})$ của các A-môđun đối với một tập tiền thứ tự lọc I, đồng cấu chính tắc $\lim_{\longrightarrow i \in I} \mathrm{Hom}_A(M, N_i) \to \mathrm{Hom}_A(M, \lim_{\longrightarrow i \in I} N_i)$ là đơn ánh (tương ứng. song ánh). γ) Với mọi họ $(P_j)_{j \in J}$ các A-môđun phải, đồng cấu chính tắc

(II, p. 61) là toàn ánh (tương ứng. song ánh). δ) Với mọi tập hợp I, đồng cấu chính tắc $A_d^1 \otimes_A M \to M^I$ là toàn ánh (tương ứng. song ánh). 19) Cho A và B là hai vành, $\varphi : A \to B$ là một đồng cấu, M là một B-môđun. Ta trang bị $B \otimes_A M$ và $\mathrm{Hom}_A(B, M)$ với các cấu trúc B-môđun trái suy ra từ cấu trúc B-môđun của B. Ta nói rằng M là xạ ảnh tương đối đối với A, hay $\varphi$-xạ ảnh, nếu toàn cấu chính tắc $B \otimes_A M \to M$ có một tiết diện B-tuyến tính; ta nói rằng M là đơn ánh tương đối đối với A, hay $\varphi$-đơn ánh, nếu đơn ánh chính tắc có một phép rút gọn B-tuyến tính. a) Nếu M là xạ ảnh (tương ứng. đơn ánh) như một A-môđun và $\varphi$-xạ ảnh (tương ứng. $\varphi$-đơn ánh) thì M là một B-môđun xạ ảnh (tương ứng. đơn ánh). b) Với mọi A-môđun N, B-môđun $B \otimes_A N$ (tương ứng. $\mathrm{Hom}_A(B, N)$) là $\varphi$-xạ ảnh (tương ứng. $\varphi$-đơn ánh). c) Giả sử rằng $\varphi(A)$ được chứa trong tâm của B. Cho N là một A-môđun, P là một B-môđun $\varphi$-xạ ảnh. Bây giờ chứng minh rằng B-môđun $P \otimes_A N$ (tương ứng. B-môđun phải $\mathrm{Hom}_A(P, N)$) là $\varphi$-xạ ảnh (tương ứng. $\varphi$-đơn ánh). 20) Cho A là một miền iđêan chính, a là một phần tử khác không của A, $B = A/Aa$. Bây giờ chứng minh rằng B-môđun $B_s$ là đơn ánh. 21) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) A là Noether. β) Mọi A-môđun giới hạn quy nạp của các A-môđun đơn ánh là đơn ánh. γ) Mọi A-môđun tổng trực tiếp của các A-môđun đơn ánh là đơn ánh. (Để chứng minh rằng γ) suy ra α), cho $(a_n)_{n \geq 1}$ là một dãy tăng các iđêan trái của A, $a = \bigcup_n a_n$, $I_n$ là một bao đơn ánh của $a/a_n$. Đồng cấu tự nhiên của a vào $\bigoplus I_n$ là hạn chế của một đồng cấu $f : A \to \bigoplus I_n$; xét $f(1)$.) 22) Cho A là một miền iđêan chính, K là trường phân thức của nó, $\pi$ là một phần tử nguyên tố của A. Bây giờ chứng minh rằng thành phần $\pi$-nguyên sơ của A-môđun $K/A$ là một bao đơn ánh của A-môđun $A/\pi^n A$ với mọi $n \geq 1$. †23) Cho I là một A-môđun đơn ánh, E là vành $\mathrm{End}_A(I)$, r là tập hợp các phần tử $u$ của E sao cho I là một bao đơn ánh của $\mathrm{Ker}(u)$. a) Bây giờ chứng minh rằng r là một iđêan hai phía và vành $E/r$ là phẳng tuyệt đối (bài tập 16). (Cho $u$ là một phần tử của E, N là một môđun con của I sao cho $N \cap \mathrm{Ker}\,u = 0$ và cực đại đối với tính chất này; bây giờ chứng minh rằng tồn tại $v \in E$ sao cho $vu(x) = x$ với mọi $x \in N$, và suy ra rằng $uvu - u \in r$.) b) Bây giờ chứng minh rằng r là căn của E (bao hàm $r(E) \subset r$ suy ra từ a); bây giờ chứng minh rằng với mọi $u \in r$, $1 - u$ là song ánh). c) Giả sử rằng I là một tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các môđun đơn ánh không phân tích được. Bây giờ chứng minh rằng vành $E/r$ là nửa đơn. †24) Cho $i : A \to I$ là một bao đơn ánh của A-môđun $A_s$. Đặt $E = \mathrm{End}_A(I)$ và $B = \mathrm{End}_E(I)$, sao cho B là đối giao hoán tử kép của A-môđun I (VIII, § 3, def. 1). Ta xét A như một vành con của B. Ta ký hiệu $j : B \to I$ và $p : E \to I$ là các ánh xạ được xác định bởi $j(b) = b(i(1))$ và $p(u) = u(i(1))$ với $b \in B,\ u \in E$. a) Bây giờ chứng minh rằng p là một toàn ánh và j là một đơn ánh.

EXERCISES

b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Ánh xạ $p$ là song ánh. β) Ánh xạ $j$ là song ánh. γ) A-môđun B là đơn ánh. Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, ánh xạ $j^{-1} \circ p$ là một đẳng cấu của vành E lên vành đối của B. c) Cho $\mathfrak{F}$ là tập hợp các iđêan trái $a$ của A sao cho $a \cap b \neq (0)$ với mọi iđêan trái khác không $b$. Ta ký hiệu $s(A)$ là tập hợp các phần tử $a$ của A sao cho tồn tại $a \in \mathfrak{F}$ thỏa mãn $aa = 0$. Chứng minh rằng $s(A)$ là một iđêan hai phía của A. d) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $s(A) = 0$. β) Vành E không có căn. γ) Vành B là phẳng tuyệt đối. Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, các tính chất tương đương của b) được thỏa mãn. (Gọi $s(I)$ là tập hợp các phần tử $x$ của I sao cho tồn tại $a \in \mathfrak{F}$ thỏa mãn $ax = 0$. Sử dụng bài tập 23, chứng minh rằng $p^{-1}(s(I))$ bằng căn $r$ của E, do đó suy ra kéo theo $\beta$) $\Rightarrow \alpha)$. Chứng minh tiếp rằng $\alpha$) kéo theo $r = \mathrm{Ker}\,(p) = 0$, điều này kéo theo $\beta$) và $\gamma$) (theo bài tập 23) cũng như điều kiện $\alpha$) của b). Cuối cùng chứng minh rằng $\gamma$) kéo theo $\alpha$).) e) Nếu A là Noether trái, iđêan $s(A)$ là lũy linh (trước hết chứng minh rằng mọi phần tử $a$ của $s(A)$ là lũy linh, bằng cách xét các linh hóa tử trái của các $a^n$; sau đó sử dụng bài tập 8, b) của VIII, § 9). † 25) Giả sử vành A là Noether trái và không chứa các iđêan hai phía lũy linh. a) Chứng minh rằng vành B được xác định trong bài tập 24 là nửa đơn (« định lý Goldie »; sử dụng bài tập 23, c) và bài tập 24, d) và e)). Nếu thêm vào đó (0) là một iđêan hai phía nguyên tố trong A (VIII, § 8, bài tập 19), chứng minh rằng B là đơn. b) Ta đồng nhất A với một vành con của B. Chứng minh các tính chất sau: (i) Mọi phần tử của A giản ước được trái đều khả nghịch trong B (do đó giản ước được trong A). (ii) Mọi phần tử $b$ của B có thể viết được dưới dạng $s^{-1} a$, với $s \in A$, $a \in A$ và $s$ giản ước được, Đôi khi người ta nói rằng B là vành phân thức trái toàn phần của A. (Để chứng minh (ii), rút gọn về trường hợp B là đơn, Chứng minh rằng khi đó iđêan (0) của A là nguyên tố, Gọi $a$ là một iđêan của $\mathfrak{F}$, $a$ là một phần tử của $a$ sao cho iđêan phải $aB$ là cực đại trong số các iđêan $a'$ B ($a' \in a$), $x$ là một phần tử của B sao cho $axa = a$. Chứng minh rằng $B(1 - xa) \subset aB$, do đó

suy ra từ đó rằng $a$ là giản ước được. Kết luận bằng cách lấy cho $a$ tập hợp các $a \in A$ sao cho $ab \in A$.) c) Giả sử mọi phần tử khác không của A đều giản ước được. Chứng minh rằng B là một trường, là trường phân thức trái của A (xem I, p. 155, bài tập 15). † 26) a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Vành A là Noether phải, và A-môđun $A_s$ là đơn ánh. $\alpha^0$ A là Noether trái và A-môđun $A_d$ là đơn ánh, β) Vành A là tự nội xạ (VIII, § 2, bài tập 11). (Chứng minh rằng $\alpha$ kéo theo mọi iđêan phải r thỏa mãn $r = r^0$. Chứng minh tiếp rằng $r(A)$ là lũy linh, và suy ra rằng A là Artin phải bằng cách sử dụng bài tập 23. Chứng minh tiếp rằng đối ngẫu của một A-môđun trái đơn là đơn. Suy ra rằng A là Noether trái và cuối cùng là tự nội xạ. b) Chứng minh rằng vành A là tự nội xạ khi và chỉ khi mọi A-môđun đơn ánh đều là xạ ảnh và mọi A-môđun xạ ảnh đều là đơn ánh. † 27) Giả sử vành A là Noether trái. a) Cho I là một A-môđun đơn ánh không phân tích được. Chứng minh rằng tập hợp các iđêan linh hóa tử của một môđun con khác không của I có một phần tử lớn nhất $\mathscr{U}(I)$, là một iđêan hai phía nguyên tố (VIII, § 8, bài tập 19). b) Chứng minh rằng với mọi iđêan hai phía nguyên tố $p$ của A, tồn tại một A-môđun đơn ánh không phân tích được I sao cho $\mathscr{U}(I) = p$ (xét một nhân tử trực tiếp không phân tích được của bao nội xạ của $A/p$). c) Giả sử A giao hoán. Chứng minh rằng mọi A-môđun đơn ánh không phân tích được I là bao nội xạ của $A/\mathscr{U}(I)$. Suy ra rằng ánh xạ $I \mapsto \mathscr{U}(I)$ xác định một song ánh của tập hợp $\mathscr{J}$ các lớp của các A-môđun đơn ánh không phân tích được lên tập hợp các iđêan nguyên tố của A. Song ánh ngược gán cho iđêan $p$ bao nội xạ của $A/p$. d) Chứng minh rằng để ánh xạ $I \mapsto \mathscr{U}(I)$ của $\mathscr{J}$ lên tập hợp các iđêan hai phía nguyên tố của A là song ánh, thì chỉ cần A thỏa mãn điều kiện sau (H):

(H) Với mọi iđêan trái $a$ của $A$, tồn tại các phần tử $x_1, \ldots, x_k$ của $A/a$ sao cho

e) Chứng minh rằng điều kiện (H) được thỏa mãn trong các trường hợp sau: $\alpha$ Mọi iđêan trái của $A$ đều là hai phía, $\beta$ $A$ là Artin. $\gamma$ Tâm $Z$ của $A$ là một vành Noether và $A$ là một $Z$-môđun kiểu sinh hữu hạn. f) Cho $k$ là một trường, $\mathbf{Q}^+$ là môđun cộng tính của các số hữu tỉ $\geqslant 0$, $A$ là đại số $k^{(\mathbf{Q}^+)}$, $a$ là một phần tử khác không của $A$, $I$ là bao nội xạ của $A/Aa$. Chứng minh rằng $A$-môđun $I$ không phân tích được, nhưng không chứa một môđun con đẳng cấu với $A/p$ với $p$ nguyên tố (chú ý rằng tập hợp các iđêan của $A$ được sắp thứ tự toàn phần và rằng $A$ chỉ chứa hai iđêan nguyên tố). 28) Cho $A$ là một vành Noether, $M$ là một $A$-môđun, $I$ là một bao nội xạ của $M$, tổng trực tiếp của một họ $(I_\alpha)_{\alpha \in J}$ các môđun con không phân tích được. Ta ký hiệu $\operatorname{Ass}(M)$ là tập hợp các iđêan nguyên tố hai phía $\mathfrak{U}(I_\alpha)$, với $\alpha \in J$ (bài tập 27); nếu $p \in \operatorname{Ass}(M)$, ta nói rằng $p$ liên kết với $M$. a) Ta có $\operatorname{Ass}(M) \neq \varnothing$ nếu $M \neq 0$; nếu $M$ có kiểu sinh hữu hạn, tập hợp $\operatorname{Ass}(M)$ là hữu hạn. b) Chứng minh rằng một iđêan nguyên tố hai phía $p$ liên kết với $M$ khi và chỉ khi $M$ chứa một môđun con $N$ sao cho $\operatorname{Ann}(N') = p$ đối với mọi môđun con khác không $N'$ của $N$. Nếu $A$ giao hoán, $p$ liên kết với $M$ khi và chỉ khi $M$ chứa một môđun con đẳng cấu với $A/p$, c) Cho $M'$ là một môđun con của $M$. Chứng minh rằng ta có d) Đặt $J_p = \sum_{\mathfrak{U}(I_\alpha) = p} I_\alpha$ và $Q(p) = \left( \sum_{q \neq p} J_q \right) \cap M$. Chứng minh rằng ta có $\bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q(p) = 0$ và $\bigcap_{p \in E} Q(p) \neq 0$ đối với mọi tập con $E$ của $\operatorname{Ass}(M)$ phân biệt với $\operatorname{Ass}(M)$. Với mọi $p \in \operatorname{Ass}(M)$, ta có $\operatorname{Ass}(M/Q(p)) = \{ p \}$. e) Cho $a$ là một phần tử của tâm của $A$. Chứng minh rằng để phép vị tự tỉ số $a$ trong $M$ là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là $a$ không thuộc bất kỳ iđêan nguyên tố nào liên kết với $M$. \* 29) Giả sử rằng vành $A$ giao hoán và Noether. Cho $a$ là một iđêan của $A$. a) Cho $H$ là một $A$-môđun sao cho mọi phần tử của $H$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $a$. Chứng minh rằng để $H$ là nội xạ, chỉ cần rằng đối với mọi số nguyên $n \geqslant 1$, mọi $A$-môđun $M$ kiểu sinh hữu hạn bị triệt tiêu bởi $a^n$ và mọi môđun con $M'$ của $M$, đồng cấu tự nhiên $\operatorname{Hom}_A(M, H) \to \operatorname{Hom}_A(M', H)$ là toàn ánh. (Sử dụng sự kiện rằng đối với mọi iđêan $b$ của $A$, tồn tại một số nguyên $k \geqslant 0$ sao cho $b \cap a^k \subset ba$ (AC, III, § 3, No. 1, cor. 2).) b) Cho $M$ là một $A$-môđun nội xạ. Với $n \geqslant 1$, ký hiệu $H_n$ là môđun con của $M$ tạo bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi $a^n$; đặt $H = \bigcup_n H_n$. Chứng minh rằng $H$ là một $A$-môđun nội xạ. c) Chứng minh rằng mọi phần tử của bao nội xạ của $A/a$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $a$, 30) Giả sử rằng vành $A$ là địa phương, giao hoán và Noether; ký hiệu $m$ là iđêan cực đại của nó, $k = A/m$. Cho $I$ là một $A$-môđun sao cho mọi phần tử của $I$ bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $m$. Đối với mọi $A$-môđun $M$, ký hiệu $T(M)$ là $A$-môđun $\operatorname{Hom}_A(M, I)$ và $c_M : M \to T(T(M))$ là đồng cấu được xác định bởi Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: $\alpha$ Đối với mọi $A$-môđun $M$ có độ dài hữu hạn, $A$-môđun $T(M)$ có độ dài hữu hạn và đồng cấu $c_M : M \to T(T(M))$ là song ánh. $\beta$ Đối với mọi $A$-môđun $M$ có độ dài hữu hạn, ta có $\operatorname{long} T(M) = \operatorname{long} M$. $\gamma$ $A$-môđun $I$ là nội xạ và các $A$-môđun $k$ và $T(k)$ là đẳng cấu. $\delta$ $A$-môđun $I$ đẳng cấu với bao nội xạ của $k$. Khi các điều kiện này được thỏa mãn, đôi khi người ta nói rằng $I$ là một môđun đối ngẫu hóa của vành $A$. (Chứng minh rằng tính chất $\gamma$ tương đương với mỗi tính chất trong ba tính chất kia: để thấy rằng $\alpha$ hoặc $\beta$ kéo theo $\gamma$, sử dụng bài tập 29.) 31) Với các giả thiết của bài tập trước, cho $B$ là một vành địa phương, giao hoán và Noether và cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành làm cho $B$ là một $A$-môđun kiểu sinh hữu hạn. Nếu $I$ là một môđun đối ngẫu hóa của $A$, chứng minh rằng $B$-môđun $\operatorname{Hom}_A(B, I)$ là môđun đối ngẫu hóa của $B$. Đặc biệt đối với mọi iđêan $a$ của $A$, môđun con của $I$ tạo bởi các phần tử bị triệt tiêu bởi $a$ là một môđun đối ngẫu hóa của $A/a$.

32) (a) Giữ các giả thiết của Bài tập 30; giả sử thêm rằng A chứa một trường $k_0$ sao cho $k$ là một không gian vectơ trên $k_0$ có chiều hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng A-môđun $I = \lim_{\longrightarrow n} \mathrm{Hom}_{k_0}(A/m^n, k_0)$ là đối ngẫu hóa đối với A. (b) Cho $k$ là một trường có đặc số không, B là vành các chuỗi hình thức $k[[T_1, ..., T_n]]$. Cho nhóm $I = k[X_1, ..., X_n]$ một cấu trúc B-môđun bằng cách đặt $T_i . P = \partial P / \partial X_i$ với mọi $P \in k[X_1, ..., X_n]$. Bây giờ chứng minh rằng I là một bao nội xạ của $k$.