Exercice 17, § 1

Soit A un anneau absolument plat (exercice 16).

a) Soit P un A-module projectif. Montrer que tout sous-module de type fini de P est facteur direct de P (se ramener au cas où P est libre de type fini). b) Montrer que tout A-module projectif est somme directe de sous-modules monogènes, isomorphes à des idéaux monogènes de A. (Utiliser le théorème de Kaplansky (II, p. 183, exercice 2) pour se ramener au cas où P admet une famille dénombrable de générateurs, puis utiliser a).) c) Montrer que tout idéal de A engendré par une famille dénombrable de générateurs est projectif. d) Donner un exemple d’un anneau absolument plat A et d’un A-module de type fini non projectif.