Bài tập 5, § 1

Cho $k$ là một trường, $C=k[X,Y]$; xét các vành con $A=k[X^4,Y^4]$, $B=k[X^4,X^3Y,XY^3,Y^4]$ và $\widetilde B=k[X^4,X^3Y,X^2Y^2,XY^3,Y^4]$ của $C$. Các phép bao hàm $A\subset B\subset\widetilde B$ cho phép định nghĩa trên $B$ và $\widetilde B$ các cấu trúc A-môđun. Bây giờ chứng minh rằng $\widetilde B$ là một A-môđun phẳng, trong khi A-môđun $B$ không phẳng.