Exercice 5, § 1

Soient $k$ un corps, $C=k[X,Y]$ ; on considère les sous-anneaux $A=k[X^4,Y^4]$, $B=k[X^4,X^3Y,XY^3,Y^4]$ et $\widetilde B=k[X^4,X^3Y,X^2Y^2,XY^3,Y^4]$ de $C$. Les inclusions $A\subset B\subset\widetilde B$ permettent de définir sur $B$ et $\widetilde B$ des structures de $A$-module. Montrer que $\widetilde B$ est un $A$-module plat, tandis que le $A$-module $B$ n’est pas plat.