Bài tập 7, § 1

Cho $E$ là một nửa nhóm và $S$ là một tập con ổn định giản ước được của $E$, thỏa mãn các giả thiết của bài tập 17 của III, p. 121, sao cho tồn tại một “nửa nhóm phân thức” $\overline E$ và một đơn cấu $\varepsilon:E\to\overline E$. Cho $A$ là một vành giao hoán. Từ $\varepsilon$ suy ra một đồng cấu của các đại số nửa nhóm $u:A^{(E)}\to A^{(\overline E)}$, cho phép coi $A^{(\overline E)}$ như một A-môđun trái trên $A^{(E)}$. Bây giờ chứng minh rằng môđun này là phẳng trên $A^{(E)}$ (viết $A^{(\overline E)}$ như một giới hạn quy nạp lọc của các A-môđun $A^{(E)}$ tự do có hạng 1).