Exercice 7, § 1

Soient $E$ un monoïde et $S$ une partie stable de $E$, simplifiable et vérifiant les hypothèses de l’exercice 17 de III, p. 121, de sorte qu’il existe un « monoïde de fractions » $\overline E$ et un homomorphisme injectif $\varepsilon:E\to\overline E$. Soit $A$ un anneau commutatif. On déduit de $\varepsilon$ un homomorphisme des algèbres de monoïdes $u:A^{(E)}\to A^{(\overline E)}$, qui permet de considérer $A^{(\overline E)}$ comme un $A^{(E)}$-module à gauche. Montrer que ce module est plat sur $A^{(E)}$ (écrire $A^{(\overline E)}$ comme limite inductive filtrante de $A^{(E)}$-modules libres de rang 1).