Bài tập 8, § 1

Cho $A$ là vành các hàm liên tục thực trên khoảng $[0,1]$.

a) Bây giờ chứng minh rằng iđêan các hàm bằng không tại $0$ là một $A$-môđun phẳng (bây giờ chứng minh rằng nó là một giới hạn quy nạp lọc của các iđêan $Af$, trong đó $f$ là một hàm chỉ triệt tiêu tại $0$).

b) Bây giờ chứng minh rằng iđêan $I$ các hàm bằng không trong một lân cận của $0$ là một $A$-môđun xạ ảnh (bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy $(f_n)_{n\geqslant1}$, $f_n\in I$, sao cho $\operatorname{Supp}(f_n)\subset\left[\frac1{n+2},\frac1n\right]$ và $\displaystyle\sum_n f_n(x)=1$ với $x\ne0$ ; suy ra rằng mọi phần tử $h$ của $I$ có thể được viết $h=\displaystyle\sum_n(f_nh)e_n$ với $e_n=\displaystyle\sum_{r\leqslant n+1}f_r$, và sử dụng II, p. 46, mệnh đề 12. \*