Exercice 8, § 1

Soit $A$ l’anneau des fonctions continues à valeurs réelles sur l’intervalle $[0,1]$.

a) Montrer que l’idéal des fonctions nulles en $0$ est un $A$-module plat (montrer qu’il est limite inductive filtrante des idéaux $Af$, où $f$ est une fonction qui ne s’annule qu’en $0$).

b) Montrer que l’idéal $I$ des fonctions nulles au voisinage de $0$ est un $A$-module projectif (montrer qu’il existe une suite $(f_n)_{n\geqslant1}$, $f_n\in I$, telle que $\operatorname{Supp}(f_n)\subset\left[\frac1{n+2},\frac1n\right]$ et $\displaystyle\sum_n f_n(x)=1$ pour $x\ne0$ ; en déduire que tout élément $h$ de $I$ s’écrit $h=\displaystyle\sum_n(f_nh)e_n$ avec $e_n=\displaystyle\sum_{r\leqslant n+1}f_r$, et utiliser II, p. 46, prop. 12. \*