Bài tập 9, § 1

Cho P là một A-môđun. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Đối với một dãy M' $\twoheadrightarrow$ M $\twoheadrightarrow$ M'' của các A-môđun phải là khớp, điều đó là cần và đủ để dãy

là khớp. β) P là phẳng, và với mọi A-môđun phải khác không M, ta có $M \otimes_A P \neq (0)$. γ) P là phẳng, và với mọi A-môđun phải M, N, đồng cấu chính tắc là đơn ánh. δ) P là phẳng, và với mọi iđêan phải cực đại m của A, ta có $mP \neq P$. Khi đó P được gọi là một A-môđun phẳng trung thành.