Bourbaki

Exercice 9, § 1

Algèbre, X, p. 169

Soit P un A-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Pour qu'une suite M' ↠\twoheadrightarrow M ↠\twoheadrightarrow M'' de A-modules à droite soit exacte, il faut et il suffit que la suite

M′⊗AP→u⊗1M⊗AP→v⊗1M′′⊗AP M' \otimes_A P \xrightarrow{u \otimes 1} M \otimes_A P \xrightarrow{v \otimes 1} M'' \otimes_A P
soit exacte. β) P est plat, et pour tout A-module à droite non nul M, on a M⊗AP≠(0)M \otimes_A P \neq (0). γ) P est plat, et pour tous A-modules à droite M, N, l'homomorphisme canonique
Hom⁡A(M,N)→Hom⁡Z(M⊗AP,N⊗AP) \operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_\mathbf{Z}(M \otimes_A P, N \otimes_A P)
est injectif. δ) P est plat, et pour tout idéal à droite maximal m de A, on a mP≠PmP \neq P. On dit alors que P est un A-module fidèlement plat.

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.