Bài tập 11, § 2

Người ta gọi một phức đôi của các A-môđun là một bộ ba $(C, d', d'')$, trong đó C là một A-môđun phân bậc kiểu $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, $d' : C \to C$ là một tự đồng cấu A-phân bậc có bậc $(-1, 0)$ và $d'' : C \to C$ là một tự đồng cấu A-phân bậc có bậc $(0, -1)$, thỏa mãn $d' \circ d' = d'' \circ d'' = d' \circ d'' + d'' \circ d' = 0$. Ta cũng sẽ dùng phân bậc tăng được xác định bởi $C^{p,q} = C_{-p,-q}$ với $p, q \in \mathbf{Z}$.

Ta ký hiệu $Z'(C), Z''(C), B'(C), B''(C)$ là các phức đôi con $\mathrm{Ker}\,(d'), \mathrm{Ker}\,(d''), \mathrm{Im}\,(d'), \mathrm{Im}\,(d'')$, và ký hiệu bởi $H'(C)$ (tương ứng $H''(C)$) phức đôi $Z'(C)/B'(C)$ (tương ứng $Z''(C)/B''(C)$).

a) Đặt $d = d' + d''$. Chứng minh rằng khi C được trang bị phân bậc toàn phần liên kết với phân bậc đôi đã cho (được xác định bởi $C_n = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q}$, cf. II, p. 164), cặp $(C, d)$ là một phức. Người ta nói rằng đây là phức liên kết với phức đôi $(C, d', d'')$; đồng điều của nó được ký hiệu bởi $H(C)$.

b) Cho $(C, d', d'')$ và $(K, \delta', \delta'')$ là hai phức đôi. Một cấu xạ của $(C, d', d'')$ vào $(K, \delta', \delta'')$ được gọi là một đồng cấu A-phân bậc $u$ có bậc $(0, 0)$ từ C vào K thỏa mãn: $\delta' \circ u = u \circ d'$ và $\delta'' \circ u = u \circ d''$. Chứng minh rằng $u$ cảm sinh một cấu xạ của các phức liên kết.

c) Cho $u, v$ là hai cấu xạ của các phức đôi từ C vào K. Một đồng luân liên hệ $u$ với $v$ được gọi là một cặp $(s', s'')$ các đồng cấu A từ C vào K, phân bậc lần lượt có các bậc $(1, 0)$ và $(0, 1)$, sao cho

Chứng minh rằng $s' + s''$ là một đồng luân liên hệ các cấu xạ của các phức liên kết được cảm sinh bởi $u$ và $v$.