Exercice 11, § 2

On appelle bicomplexe de A-modules un triplet $(C, d', d'')$, où C est un A-module gradué de type $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, $d' : C \to C$ un A-endomorphisme gradué de degré $(-1, 0)$ et $d'' : C \to C$ un A-endomorphisme gradué de degré $(0, -1)$, satisfaisant à $d' \circ d' = d'' \circ d'' = d' \circ d'' + d'' \circ d' = 0$. On utilisera aussi la graduation ascendante définie par $C^{p,q} = C_{-p,-q}$ pour $p, q \in \mathbf{Z}$.

On note $Z'(C), Z''(C), B'(C), B''(C)$ les sous-bicomplexes $\mathrm{Ker}\,(d'), \mathrm{Ker}\,(d''), \mathrm{Im}\,(d'), \mathrm{Im}\,(d'')$, et $H'(C)$ (resp. $H''(C)$) le bicomplexe $Z'(C)/B'(C)$ (resp. $Z''(C)/B''(C)$).

a) On pose $d = d' + d''$. Montrer que lorsque l’on munit C de la graduation totale associée à la bigraduation donnée (définie par $C_n = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q}$, cf. II, p. 164), le couple $(C, d)$ est un complexe. On dit que c’est le complexe associé au bicomplexe $(C, d', d'')$; son homologie est notée $H(C)$.

b) Soient $(C, d', d'')$ et $(K, \delta', \delta'')$ deux bicomplexes. On appelle morphisme de $(C, d', d'')$ dans $(K, \delta', \delta'')$ un A-homomorphisme gradué $u$ de degré $(0, 0)$ de C dans K vérifiant : $\delta' \circ u = u \circ d'$ et $\delta'' \circ u = u \circ d''$. Montrer que $u$ induit un morphisme des complexes associés.

c) Soient $u, v$ deux morphismes de bicomplexes de C dans K. On appelle homotopie reliant $u$ à $v$ un couple $(s', s'')$ de A-homomorphismes de C dans K, gradués de degrés $(1, 0)$ et $(0, 1)$ respectivement, tel que

Montrer que $s' + s''$ est une homotopie reliant les morphismes de complexes associés induits par $u$ et $v$.