Bài tập 13, § 2

Cho $I$ là một tập hợp hữu hạn; ta ký hiệu bởi $(e_i)_{i \in I}$ cơ sở chính tắc của môđun $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Z}^I$. Một I-*phức* (tương ứng. I-*tiền phức*) của các A-môđun được gọi là một A-môđun C phân bậc kiểu $\mathbf{Z}^I$, được trang bị một họ các A-tự đồng cấu $(d_i)_{i \in I}$, sao cho $d_i$ là phân bậc có bậc $(-e_i)$, thỏa mãn:

Nếu Card (I) = 1, một I-phức là một phức; nếu Card (I) = 2, một I-phức là một phức đôi (bài tập 11). Nếu $(C, (d_i))$ và $(C', (d'_i))$ là hai I-phức (tương ứng. I-tiền phức), một cấu xạ từ $(C, (d_i))$ vào $(C', (d'_i))$ là một đồng cấu phân bậc có bậc không $u : C \to C'$ sao cho $d'_i \circ u = u \circ d_i$ với mọi $i \in I$.

a) Cho $(C, (d_i))$ là một I-phức. Nếu trang bị cho $C$ phép phân bậc toàn thể (kiểu $\mathbf{Z}$) suy ra từ phép phân bậc của nó, hãy chứng minh rằng $(C, \sum_{i \in I} d_i)$ là một phức các A-môđun, được gọi là phức liên kết với I-phức $(C, (d_i))$.

Chứng minh rằng một cấu xạ của các I-phức cảm sinh một cấu xạ của các phức liên kết.

b) Cho $C$ là một I-tiền phức, và cho $R$ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên $I$, được ký hiệu bởi $\leq$. Với $k = (k_i)_{i \in I}$, $x \in C_k$ và $i \in I$, đặt

Chứng minh rằng $(C, (\delta_i))$ là một I-phức, được ký hiệu là $C_R$.

c) Cho $R_\alpha, R_\beta$ là hai quan hệ thứ tự toàn phần trên $I$, được ký hiệu bởi $\leq_\alpha$ và $\leq_\beta$. Cho $u_{\beta \alpha}$ là tự đồng cấu của $C$ được xác định bởi $u(x) = (-1)^{\varepsilon(k)} x$ với $x \in C_k$, với $\varepsilon(k) = \sum_{i <_\alpha j <_\beta i} k_i k_j$. Chứng minh rằng $u_{\beta \alpha}$ là một cấu xạ của các I-phức từ $C_{R_\alpha}$ vào $C_{R_\beta}$.

d) Cho $S$ là tập hợp các quan hệ thứ tự toàn phần trên $I$; ta trang bị cho $S$ quan hệ tiền thứ tự tầm thường (nghĩa là sao cho $R_\alpha \leq R_\beta$ với mọi $R_\alpha, R_\beta \in S$). Chứng minh rằng hệ $(C_{R_\alpha}, u_{\alpha \beta})$ là một hệ xạ ảnh các I-phức, liên kết với $S$; giới hạn của nó $\hat{C}$ là một I-phức, được gọi là I-phức liên kết với I-tiền phức $C$. Chứng minh rằng mọi cấu xạ của các I-tiền phức cảm sinh một cấu xạ của các I-phức liên kết.