Exercice 13, § 2

Soit I un ensemble fini ; on notera $(e_i)_{i \in I}$ la base canonique du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Z}^I$. On appelle I-*complexe* (resp. I-*précomplexe*) de A-modules un A-module C gradué de type $\mathbf{Z}^I$, muni d’une famille de A-endomorphismes $(d_i)_{i \in I}$, tels que $d_i$ soit gradué de degré $(-e_i)$, vérifiant :

Si Card (I) = 1, un I-complexe est un complexe ; si Card (I) = 2, un I-complexe est un bicomplexe (exercice 11). Si $(C, (d_i))$ et $(C', (d'_i))$ sont deux l-complexes (resp. l-précomplexes), un morphisme de $(C, (d_i))$ dans $(C', (d'_i))$ est un homomorphisme gradué de degré zéro $u : C \to C'$ tel que $d'_i \circ u = u \circ d_i$ pour tout $i \in I$.

a) Soit $(C, (d_i))$ un l-complexe. Si l’on munit $C$ de la graduation totale (de type $\mathbf{Z}$) déduite de sa graduation, montrer que $(C, \sum_{i \in I} d_i)$ est un complexe de $A$-modules, dit complexe associé au l-complexe $(C, (d_i))$.

Montrer qu’un morphisme de l-complexes induit un morphisme des complexes associés.

b) Soit $C$ un l-précomplexe, et soit $R$ une relation d’ordre total sur $I$, notée $\leq$. Pour $k = (k_i)_{i \in I}$, $x \in C_k$ et $i \in I$, on pose

Montrer que $(C, (\delta_i))$ est un l-complexe, noté $C_R$.

c) Soient $R_\alpha, R_\beta$ deux relations d’ordre total sur $I$, notées $\leq_\alpha$ et $\leq_\beta$. Soit $u_{\beta \alpha}$ l’endomorphisme de $C$ défini par $u(x) = (-1)^{\varepsilon(k)} x$ pour $x \in C_k$, avec $\varepsilon(k) = \sum_{i <_\alpha j <_\beta i} k_i k_j$. Montrer que $u_{\beta \alpha}$ est un morphisme de l-complexes de $C_{R_\alpha}$ dans $C_{R_\beta}$.

d) Soit $S$ l’ensemble des relations d’ordre total sur $I$; on munit $S$ de la relation de préordre triviale (c’est-à-dire telle que $R_\alpha \leq R_\beta$ quels que soient $R_\alpha, R_\beta \in S$). Montrer que le système $(C_{R_\alpha}, u_{\alpha \beta})$ est un système projectif de l-complexes, relatif à $S$; sa limite $\hat{C}$ est un l-complexe, appelé l-complexe associé au l-précomplexe $C$. Montrer que tout morphisme de l-précomplexes induit un morphisme des l-complexes associés.