Bài tập 15, § 2

Cho $E$ là một dãy phổ của các A-môđun, hội tụ tới một A-môđun phân bậc G (Bài tập 14). a) Giả sử rằng $E_2^{p,q} = 0$ với $p < 0$. Bây giờ chứng minh rằng các ánh xạ $\alpha_r$ cảm sinh, với mọi $q$, các đồng cấu A đơn ánh:

do đó, bằng hợp thành với $(\beta^{0q})^{-1}$ và với ánh xạ chuyển qua thương, một đồng cấu A $\gamma^q : G^q \to E_2^{0,q}$. b) Giả sử rằng $E_2^{pq} = 0$ với $q < 0$. Bây giờ chứng minh rằng các ánh xạ $\alpha_r^{-1}$ cảm sinh các đồng cấu toàn ánh:

do đó bằng hợp thành với $\beta^{p,0}$ một đồng cấu A $\delta^p : E_2^{p,0} \to G^p$. c) Giả sử rằng các giả thiết của a) và b) được thỏa mãn, nghĩa là $E_2^{pq} = 0$ nếu $p < 0$ hoặc $q < 0$. Bây giờ chứng minh rằng dãy

là khớp. d) Giả sử rằng $E_2^{pq} = 0$ nếu $p > 0$ hoặc $q > 0$; định nghĩa một dãy khớp tương tự như dãy của c). e) Giả sử rằng tồn tại các số nguyên $r, d$, với $d \geqslant r \geqslant 2$, sao cho $E_r^{pq} = 0$ nếu $p \neq 0, d$. Định nghĩa một dãy khớp:

Nếu tương tự $E_r^{pq} = 0$ với $q \neq 0, d$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy khớp:

f) Giả sử rằng $E_2^{pq} = 0$ nếu $q \neq 0$ (resp. $p \neq 0$). Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu

là song ánh với mọi $n$.