Exercice 15, § 2

Soit E une suite spectrale de A-modules, qui approche un A-module gradué G (exercice 14). a) On suppose $E_2^{p,q} = 0$ pour $p < 0$. Montrer que les applications $\alpha_r$ induisent pour tout $q$ des A-homomorphismes injectifs :

d’où, par composition avec $(\beta^{0q})^{-1}$ et avec l’application de passage au quotient, un A-homomorphisme $\gamma^q : G^q \to E_2^{0,q}$. b) On suppose $E_2^{pq} = 0$ pour $q < 0$. Montrer que les applications $\alpha_r^{-1}$ induisent des homomorphismes surjectifs :

d’où par composition avec $\beta^{p,0}$ un A-homomorphisme $\delta^p : E_2^{p,0} \to G^p$. c) On suppose vérifiées les hypothèses de a) et b), c’est-à-dire $E_2^{pq} = 0$ si $p < 0$ ou $q < 0$. Montrer que la suite

est exacte. d) On suppose $E_2^{pq} = 0$ si $p > 0$ ou $q > 0$; définir une suite exacte analogue à celle de c). e) On suppose qu’il existe des entiers $r, d$, avec $d \geqslant r \geqslant 2$, tels que $E_r^{pq} = 0$ si $p \neq 0, d$. Définir une suite exacte :

Si de même $E_r^{pq} = 0$ pour $q \neq 0, d$, montrer qu’il existe une suite exacte :

f) On suppose $E_2^{pq} = 0$ si $q \neq 0$ (resp. $p \neq 0$). Montrer que l’homomorphisme

est bijectif pour tout $n$.