Bài tập 16, § 2

Cho C là một phức A, $(F^p C)_{p \in \mathbf{Z}}$ là một dãy giảm các phức con của C. a) Với $p, q, r \in \mathbf{Z}$, gọi $M_r^{pq}$ là tập hợp các phần tử $x$ của $(F^p C)^{p+q}$ sao cho $dx \in F^{p+r} C$; với $r \geqslant 0$, đặt $E_r^{pq} = M_r^{pq}/(d(M_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}) + M_r^{p+1,q-1})$ và ký hiệu $d_r : E_r^{pq} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ là đồng cấu cảm sinh bởi $d$ bằng cách chuyển qua các thương. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại với $r \geqslant 0$ một đẳng cấu $\alpha_r : H(E_r) \to E_{r+1}$, sao cho dãy $(E_r, d_r)_{r \geqslant 2}$, được trang bị các ánh xạ $\alpha_r$, là một dãy phổ. Ta có

b) Giả sử rằng $\bigcup_p F^p C = C$ và với mọi $n$, tồn tại một số nguyên $p$ sao cho $(F^p C)^n = 0$. Bây giờ chứng minh rằng dãy phổ được xác định trong a) hội tụ (bài tập 14) tới A-môđun phân bậc $H(C)$, được trang bị dãy các môđun con phân bậc $F^p H(C) = \operatorname{Im} H(i_p)$ trong đó $i_p : F^p C \to C$ là đơn ánh chính tắc. c) Nếu $F^0 C = C$, A-môđun $E_r^{pq}$ là không với $p < 0$; nếu $(F^p C)^n = 0$ với $p > n$, ta có $E_r^{pq} = 0$ với $q < 0$. d) Gọi C’ là một phức thứ hai, $(F^p C')_{p \in \mathbf{Z}}$ là một dãy giảm các phức con của C’, E’ là dãy phổ liên kết. Gọi $u : C \to C'$ là một cấu xạ của các phức sao cho $u(F^p C) \subset F^p C'$ với mọi $p$. Bây giờ chứng minh rằng $u$ cảm sinh một cấu xạ của các dãy phổ $\tilde{u} : E \to E'$. e) Với các ký hiệu của d), gọi $v : C \to C'$ là một cấu xạ thứ hai sao cho $v(F^p C) \subset F^p C'$ với mọi $p$, và gọi $h$ là một đồng luân liên hệ $u$ với $v$. Gọi $k$ là một số nguyên $\geqslant 0$ sao cho $h(F^p C) \subset F^{p-k} C'$ với mọi $p$. Bây giờ chứng minh rằng $\tilde{u}_r = \tilde{v}_r$ với $r > k$.