Exercice 16, § 2

Soient C un A-complexe, $(F^p C)_{p \in \mathbf{Z}}$ une suite décroissante de sous-complexes de C. a) Pour $p, q, r \in \mathbf{Z}$, soit $M_r^{pq}$ l’ensemble des éléments $x$ de $(F^p C)^{p+q}$ tels que $dx \in F^{p+r} C$; pour $r \geqslant 0$, on pose $E_r^{pq} = M_r^{pq}/(d(M_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}) + M_r^{p+1,q-1})$ et on note $d_r : E_r^{pq} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ l’homomorphisme déduit de $d$ par passage aux quotients. Montrer qu’il existe pour $r \geqslant 0$ un isomorphisme $\alpha_r : H(E_r) \to E_{r+1}$, de sorte que la suite $(E_r, d_r)_{r \geqslant 2}$, munie des applications $\alpha_r$, est une suite spectrale. On a

b) On suppose que $\bigcup_p F^p C = C$ et que pour tout $n$, il existe un entier $p$ tel que $(F^p C)^n = 0$. Montrer que la suite spectrale définie en a) converge (exercice 14) vers le A-module gradué $H(C)$, muni de la suite de sous-modules gradués $F^p H(C) = \operatorname{Im} H(i_p)$ où $i_p : F^p C \to C$ est l’injection canonique. c) Si $F^0 C = C$, le A-module $E_r^{pq}$ est nul pour $p < 0$; si $(F^p C)^n = 0$ pour $p > n$, on a $E_r^{pq} = 0$ pour $q < 0$. d) Soient C’ un second complexe, $(F^p C')_{p \in \mathbf{Z}}$ une suite décroissante de sous-complexes de C’, E’ la suite spectrale associée. Soit $u : C \to C'$ un morphisme de complexes tel que $u(F^p C) \subset F^p C'$ pour tout $p$. Montrer que $u$ induit un morphisme de suites spectrales $\tilde{u} : E \to E'$. e) Avec les notations de d), soit $v : C \to C'$ un second morphisme tel que $v(F^p C) \subset F^p C'$ pour tout $p$, et soit $h$ une homotopie reliant $u$ à $v$. Soit $k$ un entier $\geqslant 0$ tel que $h(F^p C) \subset F^{p-k} C'$ pour tout $p$. Montrer que $\tilde{u}_r = \tilde{v}_r$ pour $r > k$.