Bài tập 17, § 2

Cho C là một phức đôi (X, p. 174, bài tập 11).

a) Ta định nghĩa hai dãy giảm $(\,^{\prime}F^pC\,)_{p\in\mathbf Z}$ và $(\,^{\prime\prime}F^qC\,)_{q\in\mathbf Z}$ của các phức con của phức liên kết với C bằng cách đặt

Cho $\,^{\prime}E$ và $\,^{\prime\prime}E$ là các dãy phổ tương ứng (bài tập 16, a)). Bây giờ chứng minh rằng với mọi cặp $(p,q)$, môđun $A$ $\,^{\prime}E^{p q}_2$ (tương ứng $\,^{\prime\prime}E^{p q}_2$) là đẳng cấu với $\,^{\prime}H^p(H^q(C))$ (tương ứng $\,^{\prime\prime}H^q(H^p(C))$).

b) Giả sử tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $C^{pq}=0$ với $p>n$ hoặc với $q\leq n$. Bây giờ chứng minh rằng dãy phổ $\,^{\prime}E$ hội tụ đến $H(C)$. Nếu tương tự tồn tại một số nguyên $m$ sao cho $C^{pq}=0$ với $p<m$ hoặc với $q\geq m$, thì dãy phổ $\,^{\prime\prime}E$ hội tụ đến $H(C)$.

c) Giả sử rằng $C^{pq}=0$ với $p<0$ hoặc $q<0$. Bây giờ chứng minh rằng đồng cấu $\,^{\prime}E^{p0}_2\rightarrow H^p(C)$ (bài tập 15) thu được bằng cách chuyển qua đồng điều từ đơn ánh chính tắc của các phức $\,^{\prime}Z^0(C)\rightarrow C$. Tương tự, đồng cấu $\,^{\prime\prime}E^{0q}_2\rightarrow H^q(C)$ thu được từ đơn ánh $\,^{\prime\prime}Z^0(C)\rightarrow C$.

d) Cho $\widetilde C$ là một phức đôi thứ hai, $\,^{\prime}\widetilde E$ và $\,^{\prime\prime}\widetilde E$ là hai dãy phổ liên kết. Bây giờ chứng minh rằng mọi cấu xạ của các phức đôi $u:C\rightarrow\widetilde C$ cảm sinh các cấu xạ của các dãy phổ $\,^{\prime}u:^{\prime}E\rightarrow\,^{\prime}\widetilde E$ và $\,^{\prime\prime}u:^{\prime\prime}E\rightarrow\,^{\prime\prime}\widetilde E$. Bây giờ chứng minh rằng nếu hai cấu xạ $u,v$ từ $C$ đến $\widetilde C$ là đồng luân, thì các cấu xạ liên kết $\,^{\prime}u$ và $\,^{\prime}v$ (tương ứng $\,^{\prime\prime}u$ và $\,^{\prime\prime}v$) là bằng nhau (dùng bài tập 16, e)).