Exercice 17, § 2

Soit C un bicomplexe (X, p. 174, exercice 11).

a) On définit deux suites décroissantes $(\,^{\prime}F^pC\,)_{p\in\mathbf Z}$ et $(\,^{\prime\prime}F^qC\,)_{q\in\mathbf Z}$ de sous-complexes du complexe associé à C en posant

Soient $\,^{\prime}E$ et $\,^{\prime\prime}E$ les suites spectrales correspondantes (exercice 16, a)). Montrer que pour tout couple $(p,q)$, le $A$-module $\,^{\prime}E^{p q}_2$ (resp. $\,^{\prime\prime}E^{p q}_2$) est isomorphe à $\,^{\prime}H^p(H^q(C))$ (resp. $\,^{\prime\prime}H^q(H^p(C))$).

b) On suppose qu’il existe un entier $n$ tel que $C^{pq}=0$ pour $p>n$ ou pour $q\leq n$. Montrer que la suite spectrale $\,^{\prime}E$ converge vers $H(C)$. Si de même il existe un entier $m$ tel que $C^{pq}=0$ pour $p<m$ ou pour $q\geq m$, la suite spectrale $\,^{\prime\prime}E$ converge vers $H(C)$.

c) On suppose que $C^{pq}=0$ pour $p<0$ ou $q<0$. Montrer que l’homomorphisme $\,^{\prime}E^{p0}_2\rightarrow H^p(C)$ (exercice 15) provient par passage à l’homologie de l’injection canonique de complexes $\,^{\prime}Z^0(C)\rightarrow C$. De même l’homomorphisme $\,^{\prime\prime}E^{0q}_2\rightarrow H^q(C)$ provient de l’injection $\,^{\prime\prime}Z^0(C)\rightarrow C$.

d) Soient $\widetilde C$ un second bicomplexe, $\,^{\prime}\widetilde E$ et $\,^{\prime\prime}\widetilde E$ les deux suites spectrales associées. Montrer que tout morphisme de bicomplexes $u:C\rightarrow\widetilde C$ induit des morphismes de suites spectrales $\,^{\prime}u:^{\prime}E\rightarrow\,^{\prime}\widetilde E$ et $\,^{\prime\prime}u:^{\prime\prime}E\rightarrow\,^{\prime\prime}\widetilde E$. Montrer que si deux morphismes $u,v$ de $C$ dans $\widetilde C$ sont homotopes, les morphismes associés $\,^{\prime}u$ et $\,^{\prime}v$ (resp. $\,^{\prime\prime}u$ et $\,^{\prime\prime}v$) sont égaux (utiliser l’exercice 16, e)).