Bài tập 3, § 2

Cho $C$ là một phức các A-môđun; ta xét $C$ như một A(\varepsilon)-môđun (X, p. 27). Ta ký hiệu

đơn ánh chính tắc. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $C$ là i-xạ ảnh (X, p. 170, bài tập 19). (ii) $C$ là i-đơn ánh (loc. cit.). (iii) Phức $C$ là đồng luân với không. (iv) Tồn tại một A-môđun phân bậc $M$ và một đẳng cấu của các A(\varepsilon)-môđun phân bậc $A(\varepsilon) \otimes_A M \to C$. (v) Tồn tại một A-môđun phân bậc $N$ và một đẳng cấu của các A(\varepsilon)-môđun phân bậc $C \to \mathrm{Hom}_A(A(\varepsilon), N)$.