Exercice 3, § 2

Soit C un complexe de A-modules ; on considère C comme un A(\varepsilon)-module (X, p. 27). On note

l’injection canonique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) C est i-projectif (X, p. 170, exercice 19). (ii) C est i-injectif (loc. cit.). (iii) Le complexe C est homotope à zéro. (iv) Il existe un A-module gradué M et un isomorphisme de A(\varepsilon)-modules gradués $A(\varepsilon) \otimes_A M \to C$. (v) Il existe un A-module gradué N et un isomorphisme de A(\varepsilon)-modules gradués $C \to \mathrm{Hom}_A(A(\varepsilon), N)$.