Bài tập 5, § 2

Cho C là một phức, s là một phép tách của C, $\delta : C \to C$ là một đồng cấu phân bậc của bậc – 1, sao cho $(d + \delta) \circ (d + \delta) = 0$. Ta ký hiệu bởi C’ phức $(C, d + \delta)$. Ta giả sử rằng ánh xạ A-tuyến tính $\theta$ của C vào C được xác định bởi $\theta = 1_C + \delta s$ là song ánh. (a) Để $s \theta^{-1}$ là một phép tách của C’, điều kiện cần và đủ là $\delta(Z(C)) \subset \theta(B(C))$. (b) Giả sử các điều kiện của (a) được thỏa mãn. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại các phân tích thành tổng trực tiếp: $C = B(C) \oplus \mathrm{Ker}\,(ds) = B(C') \oplus \mathrm{Ker}\,(ds)$. Nếu $p$ (tương ứng $p'$) là phép chiếu có ảnh $\mathrm{Ker}\,(ds)$ và hạt nhân $B(C)$ (tương ứng $B(C')$), ta có $p' = p \theta^{-1}$. (c) Giả sử thêm rằng ánh xạ A-tuyến tính $\lambda$ của C vào C được xác định bởi $\lambda = 1_C + s \delta$ là song ánh. Bây giờ chứng minh rằng $Z(C') = \lambda^{-1}(Z(C))$ và $C = Z(C) \oplus \mathrm{Im}\,(sd) = Z(C') \oplus \mathrm{Im}\,(sd)$. Nếu $q$ (tương ứng $q'$) là phép chiếu có ảnh $Z(C)$ (tương ứng $Z(C')$) và hạt nhân $\mathrm{Im}\,(sd)$, ta có $q' = \lambda^{-1} q$.