Exercice 5, § 2

Soient C un complexe, s une scission de C, $\delta : C \to C$ un homomorphisme gradué de degré – 1, tel que $(d + \delta) \circ (d + \delta) = 0$. On note C’ le complexe $(C, d + \delta)$. On suppose que l’application A-linéaire $\theta$ de C dans C définie par $\theta = 1_C + \delta s$ est bijective. a) Pour que $s \theta^{-1}$ soit une scission de C’, il faut et il suffit que $\delta(Z(C)) \subset \theta(B(C))$. b) On suppose les conditions de a) satisfaites. Montrer qu’il existe des décompositions en somme directe : $C = B(C) \oplus \mathrm{Ker}\,(ds) = B(C') \oplus \mathrm{Ker}\,(ds)$. Si $p$ (resp. $p'$) est le projecteur d’image $\mathrm{Ker}\,(ds)$ et de noyau $B(C)$ (resp. $B(C')$), on a $p' = p \theta^{-1}$. c) On suppose de plus que l’application A-linéaire $\lambda$ de C dans C définie par $\lambda = 1_C + s \delta$ est bijective. Montrer qu’on a $Z(C') = \lambda^{-1}(Z(C))$ et $C = Z(C) \oplus \mathrm{Im}\,(sd) = Z(C') \oplus \mathrm{Im}\,(sd)$. Si $q$ (resp. $q'$) est le projecteur d’image $Z(C)$ (resp. $Z(C')$) et de noyau $\mathrm{Im}\,(sd)$, on a $q' = \lambda^{-1} q$.