Bài tập 1, § 5

Một phức A C được gọi là thuần nếu với mọi A-môđun phải P ta có $H(P \otimes_A C) = 0$.

a) Một phức đồng luân với không là thuần; một phức các môđun phẳng, có đồng điều không và bị chặn về bên phải, là thuần. Hãy cho một ví dụ về một phức các môđun tự do hạng 1, có đồng điều không nhưng không thuần.

b) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) C là thuần.

β) Với mọi A-môđun có trình bày hữu hạn M, ta có $H(\mathrm{Homgr}_A(M, C)) = 0$.

γ) Tồn tại một hệ quy nạp lọc $(C^{(\alpha)})_{\alpha \in J}$ của các phức đồng luân với không sao cho $C = \varprojlim C^{(\alpha)}$. (Để thấy rằng β) suy ra γ), rút gọn về trường hợp $C_i = 0$ với $i < i_0$ và viết $C_{i_0}$ dưới dạng một giới hạn quy nạp của các môđun có trình bày hữu hạn.)