Exercice 1, § 5

On dit qu’un A-complexe C est pur si pour tout A-module à droite P on a $H(P \otimes_A C) = 0$.

a) Un complexe homotope à zéro est pur ; un complexe de modules plats, d’homologie nulle et borné à droite est pur. Donner un exemple de complexe de modules libres de rang 1, d’homologie nulle mais non pur.

b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) C est pur.

β) Pour tout A-module M de présentation finie, on a $H(\mathrm{Homgr}_A(M, C)) = 0$.

γ) Il existe un système inductif filtrant $(C^{(\alpha)})_{\alpha \in J}$ de complexes homotopes à zéro tel que $C = \varprojlim C^{(\alpha)}$. (Pour voir que β) entraîne γ), se ramener au cas où $C_i = 0$ pour $i < i_0$ et écrire $C_{i_0}$ comme limite inductive de modules de présentation finie.)