Bài tập 5, § 5

Cho $P$ là một phức $A$ xạ ảnh, không về bên phải, cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) Tồn tại một phức $P'$ gồm các môđun $A$ xạ ảnh kiểu hữu hạn, sao cho $P'_i = 0$ với $i > n$ hoặc $i < 0$, và một cấu xạ $f : P' \to P$ sao cho $H_i(f)$ là song ánh với $i < n$ và toàn ánh với $i = n$.

β) Với mọi hệ quy nạp lọc của các môđun $A$ $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$, đồng cấu chính tắc

là song ánh với $i < n$ và đơn ánh với $i = n$.

γ) Với mọi họ các môđun phải $A$ $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$, đồng cấu chính tắc

là song ánh với $i < n$ và toàn ánh với $i = n$.

(Để chứng minh rằng α) kéo theo β) và γ), áp dụng Bài tập 4 cho nón của $f$. Để chứng minh rằng β) hoặc $\gamma$ kéo theo $\alpha$), lập luận bằng quy nạp theo $n$, áp dụng Bài tập 4, Bài tập 18, p. 170 và Bài tập 10, p. 174.)