Exercice 5, § 5

Soient P un A-complexe projectif, nul à droite, n un entier $\geqslant 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) Il existe un complexe P’ de A-modules projectifs de type fini, tel que $P'_i = 0$ pour $i > n$ ou $i < 0$, et un morphisme $f : P' \to P$ tel que $H_i(f)$ soit bijectif pour $i < n$ et surjectif pour $i = n$.

β) Pour tout système inductif filtrant de A-modules $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$, l’homomorphisme canonique

est bijectif pour $i < n$ et injectif pour $i = n$.

γ) Pour toute famille de A-modules à droite $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$, l’homomorphisme canonique

est bijectif pour $i < n$ et surjectif pour $i = n$.

(Pour démontrer que α) entraîne β) et γ), appliquer l’exercice 4 au cône de f. Pour démontrer que β) ou $\gamma$ entraîne $\alpha$), raisonner par récurrence sur $n$, en appliquant l’exercice 4, l’exercice 18, p. 170 et l’exercice 10, p. 174.)