Bài tập 6, § 5

Cho $A, B$ là hai đại số $k$ (kết hợp và có một phần tử khả nghịch), $M$ là một $A$-môđun trái, $P$ là một $B$-môđun trái, $N$ là một song môđun $(B, A)$. (a) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy phổ (X, pp. 175-177, bài tập 14 đến 17) của các $k$-môđun $^1E$ và $^2E$, hội tụ về cùng một $k$-môđun phân bậc, sao cho

(b) Bằng hợp thành của các đồng cấu $\gamma$ và $\delta$ của bài tập 15, p. 176, định nghĩa một $k$-đồng cấu Nếu $P$ là đơn ánh, chứng minh rằng $\mu$ là một đẳng cấu. (c) Nếu $N$ là một $A$-môđun phẳng, chỉ ra rằng dãy $^1E$ hội tụ về $\mathrm{Ext}_B(N \otimes_A M, P)$; nếu $N$ là một $B$-môđun xạ ảnh, dãy $^2E$ hội tụ về $\mathrm{Ext}_A(M, \mathrm{Hom}_B(N, P))$. (d) Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu của các đại số $k$. Chỉ ra rằng tồn tại một dãy phổ $E$, sao cho $E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(\mathrm{Tor}_q^A(B, M), P)$, hội tụ về $\mathrm{Ext}_A(M, P)$, và một dãy phổ $'E$, sao cho hội tụ về $\mathrm{Ext}_A(P, M)$.