Exercice 6, § 5

Soient $A, B$ deux $k$-algèbres (associatives et unifères), $M$ un $A$-module à gauche, $P$ un $B$-module à gauche, $N$ un $(B, A)$-bimodule. a) Montrer qu’il existe deux suites spectrales (X, pp. 175-177, exercices 14 à 17) de $k$-modules $^1E$ et $^2E$, convergeant vers le même $k$-module gradué, telles que

b) Par composition des homomorphismes $\gamma$ et $\delta$ de l’exercice 15, p. 176, définir un $k$-homomorphisme Si $P$ est injectif, démontrer que $\mu$ est un isomorphisme. c) Si $N$ est un $A$-module plat, montrer que la suite $^1E$ converge vers $\mathrm{Ext}_B(N \otimes_A M, P)$; si $N$ est un $B$-module projectif, la suite $^2E$ converge vers $\mathrm{Ext}_A(M, \mathrm{Hom}_B(N, P))$. d) Soit $\rho : A \to B$ un homomorphisme de $k$-algèbres. Montrer qu’il existe une suite spectrale $E$, telle que $E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(\mathrm{Tor}_q^A(B, M), P)$, convergeant vers $\mathrm{Ext}_A(M, P)$, et une suite spectrale $'E$, telle que convergeant vers $\mathrm{Ext}_A(P, M)$.