Bài tập 8, § 5

Cho $P, Q$ là hai $A$-phức. Giả sử hoặc là $P$ bị chặn dưới và $Q$ bị chặn trên, hoặc là tồn tại một số nguyên $d$ sao cho mọi $A$-môđun đều thừa nhận một phân giải xạ ảnh có độ dài $\leq d$. a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại hai dãy phổ $'E$ và $"E$, hội tụ đến cùng một $k$-môđun phân bậc, sao cho

(trong đó $\mathrm{Ext}_A^q(P, Q)$ chỉ phức liên kết với phức đôi $\bigoplus_{r,s} \mathrm{Ext}_A^q(P_r, Q_s^s)$). b) Nếu $P$ là xạ ảnh hoặc $Q$ là đơn ánh, dãy phổ $"E$ hội tụ đến $H(\mathrm{Homgr}_A(P, Q))$. Nếu $H(P)$ là xạ ảnh hoặc $H(Q)$ là đơn ánh, dãy $'E$ hội tụ đến $\mathrm{Homgr}_A(H(P), H(Q))$.