Exercice 8, § 5

Soient $P, Q$ deux $A$-complexes. On suppose ou bien que $P$ est borné inférieurement et $Q$ borné supérieurement, ou bien qu’il existe un entier $d$ tel que tout $A$-module admette une résolution projective de longueur $\leq d$. a) Montrer qu’il existe deux suites spectrales $'E$ et $"E$, convergeant vers le même $k$-module gradué, telles que

(où $\mathrm{Ext}_A^q(P, Q)$ désigne le complexe associé au bicomplexe $\bigoplus_{r,s} \mathrm{Ext}_A^q(P_r, Q_s^s)$). b) Si $P$ est projectif ou $Q$ injectif, la suite spectrale $"E$ converge vers $H(\mathrm{Homgr}_A(P, Q))$. Si $H(P)$ est projectif ou $H(Q)$ injectif, la suite $'E$ converge vers $\mathrm{Homgr}_A(H(P), H(Q))$.