Bài tập 16, § 8

Cho $A$ là một vành địa phương Noether phải và trái và $\mathfrak{m}$ là iđêan cực đại của nó; ký hiệu $k_s$ (tương ứng $k_d$) là A-môđun trái (tương ứng phải) $A/m$. Cho $M$ là một A-môđun trái hữu hạn kiểu và $n$ là một số nguyên. (a) Chứng minh rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M) \leq n$ khi và chỉ khi $\mathrm{Tor}_{n+1}^{A}(k_d, M) = 0$ (dùng bài tập 4, p. 185). (b) Chứng minh rằng ta có $\mathrm{dh}(A) = \mathrm{dp}_A(k_s)$; để có $\mathrm{dh}(A) \leq n$, điều kiện cần và đủ là ta có

(c) Cho $x$ là một phần tử của tâm của $A$, thuộc về $\mathfrak{m}$, sao cho phép vị tự với tỉ số $x$ trong $M$ là đơn ánh. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M/xM) = \mathrm{dp}_A(M) + 1$ (xem thêm bài tập 14).