Exercice 16, § 8

Soient A un anneau local nœthérien à droite et à gauche, m son idéal maximal ; on note $k_s$ (resp. $k_d$) le A-module à gauche (resp. à droite) $A/m$. Soient M un A-module à gauche de type fini et n un entier. a) Montrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(M) \leq n$ si et seulement si $\mathrm{Tor}_{n+1}^{A}(k_d, M) = 0$ (utiliser l’exercice 4, p. 185). b) Montrer que l’on a $\mathrm{dh}(A) = \mathrm{dp}_A(k_s)$; pour que $\mathrm{dh}(A) \leq n$, il faut et il suffit que l’on ait

c) Soit $x$ un élément du centre de $A$, appartenant à $\mathfrak{m}$, tel que l’homothétie de rapport $x$ dans $M$ soit injective. Montrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(M/xM) = \mathrm{dp}_A(M) + 1$ (cf. aussi exercice 14).