Bài tập 17, § 8

Cho $M$ là một $A$-môđun, $I$ là một tập hợp có thứ tự, $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ tăng các môđun con của $M$, sao cho $M = \bigcup_{\alpha \in I} M_\alpha$. Ta đặt $M'_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} M_\beta$ với $\alpha \in I$.

a) Bài tập chứng minh bất đẳng thức $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \sup_{\alpha \in I} \mathrm{dp}_A(M_\alpha/M'_\alpha)$.

b) Giả sử tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $\mathrm{dp}_A(M'_\alpha) \leqslant n$ với mọi $\alpha \in I$. Bây giờ chứng minh rằng ta có