Exercice 17, § 8

Soient $M$ un $A$-module, $I$ un ensemble bien ordonné, $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille croissante de sous-modules de $M$, telle que $M = \bigcup_{\alpha \in I} M_\alpha$. On pose $M'_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} M_\beta$ pour $\alpha \in I$.

a) Démontrer l’inégalité $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \sup_{\alpha \in I} \mathrm{dp}_A(M_\alpha/M'_\alpha)$.

b) On suppose qu’il existe un entier $n$ tel que $\mathrm{dp}_A(M'_\alpha) \leqslant n$ pour tout $\alpha \in I$. Montrer que l’on a