Bài tập 18, § 8

(a) Cho $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một hệ quy nạp các $A$-môđun đối với một tập hợp đếm được $I$, $M$ là giới hạn của nó, $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$. Bây giờ chứng minh rằng nếu $\mathrm{dp}_A(M_\alpha) \leqslant n$ với mọi $\alpha \in I$, thì ta có $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant n + 1$ (rút gọn về trường hợp $n = 0$ và $I = \mathbf{N}$, sau đó viết một dãy khớp $0 \to \bigoplus_n M_n \to \bigoplus_n M_n \to M \to 0$).

(b) Cho $P$ là một $A$-môđun phẳng nhận một biểu diễn $A^{(S)} \to A^{(T)} \to P \to 0$, trong đó tập hợp $S$ là đếm được. Suy ra từ a) rằng ta có $\mathrm{dp}_A(P) \leqslant 1$.

(c) Giả sử rằng mọi iđêan trái của vành $A$ đều được sinh bởi một tập hợp đếm được các phần tử. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \mathrm{dpl}_A(M) + 1$ với mọi $A$-môđun $M$ được sinh bởi một họ đếm được các phần tử. Suy ra các bất đẳng thức $\mathrm{dh}(A) \leqslant \mathrm{td}(A) + 1$ và $|\mathrm{dh}(A) - \mathrm{dh}(A^\circ)| \leqslant 1$. (Sử dụng bài tập 12, p. 181, bài tập 8, p. 202, cũng như b).)