Exercice 18, § 8

a) Soient $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ un système inductif de $A$-modules relatif à un ensemble $I$ dénombrable, $M$ sa limite, $n$ un entier $\geqslant 0$. Montrer que si $\mathrm{dp}_A(M_\alpha) \leqslant n$ pour tout $\alpha \in I$, on a $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant n + 1$ (se ramener au cas $n = 0$ et $I = \mathbf{N}$, puis écrire une suite exacte $0 \to \bigoplus_n M_n \to \bigoplus_n M_n \to M \to 0$).

b) Soit $P$ un $A$-module plat admettant une présentation $A^{(S)} \to A^{(T)} \to P \to 0$, où l’ensemble $S$ est dénombrable. Déduire de a) que l’on a $\mathrm{dp}_A(P) \leqslant 1$.

c) On suppose que tout idéal à gauche de l’anneau $A$ est engendré par un ensemble dénombrable d’éléments. Démontrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \mathrm{dpl}_A(M) + 1$ pour tout $A$-module $M$ engendré par une famille dénombrable d’éléments. En déduire les inégalités $\mathrm{dh}(A) \leqslant \mathrm{td}(A) + 1$ et $|\mathrm{dh}(A) - \mathrm{dh}(A^\circ)| \leqslant 1$. (Utiliser l’exercice 12, p. 181, l’exercice 8, p. 202, ainsi que b).)