Bài tập 19, § 8

a) Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$, $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một hệ quy nạp các $A$-môđun, $M$ là giới hạn của nó. Giả sử rằng $\mathrm{Card}(I) \leqslant \aleph_n$ (E, III, p. 87, Bài tập 10) và tồn tại một số nguyên $r$ sao cho $\mathrm{dp}_A(M_\alpha) \leqslant r$ với mọi $\alpha \in I$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant r + n + 1$ (lập luận bằng quy nạp theo $n$, sử dụng Bài tập 18, a) và Bài tập 17).

b) Giả sử rằng mọi iđêan trái của $A$ đều được sinh bởi một họ các phần tử có lực lượng $\leqslant \aleph_n$. Chứng minh rằng ta có $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \mathrm{dpl}_A(M) + n + 1$ với mọi $A$-môđun $M$ được sinh bởi một họ các phần tử có lực lượng $\leqslant \aleph_n$. Suy ra các bất đẳng thức