Exercice 19, § 8

a) Soient $n$ un entier $\geqslant 0$, $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ un système inductif de $A$-modules, $M$ sa limite. On suppose que $\mathrm{Card}(I) \leqslant \aleph_n$ (E, III, p. 87, exercice 10) et qu’il existe un entier $r$ tel que $\mathrm{dp}_A(M_\alpha) \leqslant r$ pour tout $\alpha \in I$. Montrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant r + n + 1$ (raisonner par récurrence sur $n$, en utilisant l’exercice 18, a) et l’exercice 17).

b) On suppose que tout idéal à gauche de $A$ est engendré par une famille d’éléments de cardinal $\leqslant \aleph_n$. Démontrer que l’on a $\mathrm{dp}_A(M) \leqslant \mathrm{dpl}_A(M) + n + 1$ pour tout $A$-module $M$ engendré par une famille d’éléments de cardinal $\leqslant \aleph_n$. En déduire les inégalités