Bài tập 21, § 8

Cho $\mathfrak{r}$ là căn của $A$. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$\alpha$) $A/\mathfrak{r}$ là nửa đơn, và với mọi dãy $(a_n)_{n \geqslant 1}$ gồm các phần tử của $\mathfrak{r}$, tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $a_1 \ldots a_n = 0$.

$\beta$) Mọi $A$-môđun đều có một phủ xạ ảnh.

$\gamma$) Với mọi $A$-môđun $M$, ta có $\mathrm{dpl}_A(M) = \mathrm{dp}_A(M)$ (X, p. 202, bài tập 7).

$\delta$) Với mọi hệ quy nạp $(M_\alpha, f_{\beta\alpha})_{\alpha \in I}$ gồm các $A$-môđun, ta có:

$\varepsilon$) Mọi $A$-môđun phẳng đều là xạ ảnh.

$\varphi$) Mọi dãy giảm các iđêan phải đơn sinh của $A$ đều dừng.

(Đối với sự tương đương của $\alpha$) và $\beta$), cf. VIII, § 8, bài tập 26. Để chứng minh rằng $\beta$) kéo theo $\gamma$), chú ý rằng $M$ có một phân giải xạ ảnh cực tiểu $P$ và rằng $P_n/\mathfrak{r}P_n$ đẳng cấu với $\mathrm{Tor}_n^A(A/\mathfrak{r}, M)$. Để chứng minh $\varepsilon) \Rightarrow \varphi)$, xét $(I_n)_{n \geqslant 1}$ là một dãy giảm các iđêan phải đơn sinh, sao cho

Trong môđun tự do $A^{(\mathbf{N})}$, xét các môđun con $N_p$ sinh bởi $e_1 - a_1 e_2, \ldots, e_p - a_p e_{p+1}$. Suy ra từ $\varepsilon$) rằng $N = \bigcup_p N_p$ là một nhân tử trực tiếp trong $A^{(\mathbf{N})}$; kết luận rằng $I_{n+1} = I_n$ với $n$ đủ lớn.

Đối với kéo theo $\varphi) \Rightarrow \alpha)$, dùng VIII, § 9, bài tập 12.)