Exercice 21, § 8

Soit $\mathfrak{r}$ le radical de $A$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha$) $A/\mathfrak{r}$ est semi-simple, et pour toute suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ d’éléments de $\mathfrak{r}$, il existe un entier $n$ tel que $a_1 \ldots a_n = 0$.

$\beta$) Tout $A$-module admet une couverture projective.

$\gamma$) Pour tout $A$-module $M$, on a $\mathrm{dpl}_A(M) = \mathrm{dp}_A(M)$ (X, p. 202, exercice 7).

$\delta$) Pour tout système inductif $(M_\alpha, f_{\beta\alpha})_{\alpha \in I}$ de $A$-modules, on a :

$\varepsilon$) Tout $A$-module plat est projectif.

$\varphi$) Toute suite décroissante d’idéaux à droite monogènes de $A$ est stationnaire.

(Pour l’équivalence de $\alpha$) et $\beta$), cf. VIII, § 8, exercice 26. Pour montrer que $\beta$) entraîne $\gamma$), remarquer que $M$ admet une résolution projective minimale $P$ et que $P_n/\mathfrak{r}P_n$ est isomorphe à $\mathrm{Tor}_n^A(A/\mathfrak{r}, M)$. Pour prouver $\varepsilon) \Rightarrow \varphi)$, soit $(I_n)_{n \geqslant 1}$ une suite décroissante d’idéaux à droite monogènes, de sorte que

Dans le module libre $A^{(\mathbf{N})}$, considérer les sous-modules $N_p$ engendrés par $e_1 - a_1 e_2, \ldots, e_p - a_p e_{p+1}$. Déduire de $\varepsilon$) que $N = \bigcup_p N_p$ est facteur direct dans $A^{(\mathbf{N})}$ ; en conclure que $I_{n+1} = I_n$ pour $n$ assez grand.

Pour l’implication $\varphi) \Rightarrow \alpha)$, utiliser VIII, § 9, exercice 12.)