Bài tập 4, § 8

Cho M là một A-môđun. Người ta gọi chiều đơn ánh của M, và ký hiệu là $\mathrm{di}_A(M)$, cận dưới lớn nhất trong $\overline{\mathbf{Z}}$ của các độ dài của các phân giải đơn ánh của M. Nếu n là một số nguyên $\geqslant 0$, bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $\mathrm{di}_A(M) \leqslant n$; β) $\mathrm{Ext}_A^r(N, M) = 0$ với mọi A-môđun N và mọi số nguyên $r > n$; γ) $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(N, M) = 0$ với mọi A-môđun N ; δ) $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(N, M) = 0$ với mọi A-môđun đơn sinh N ; ε) với mọi dãy khớp $0 \to M \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to N \to 0$, trong đó các $I^k$ là đơn ánh, N là đơn ánh.